حل معادلات الدرجة الثالثة - طريقة كاردانو

حل معادلات الدرجة الثالثة - طريقة كاردانو

Cardano's Method

مقدمة تأريخية :

أول من حل معادلة الدرجة الثالثة على الشكل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] كان سبيونيه دل فرو Scipione del Ferro في أوائل القرن السادس عشر ، لكنه احتفظ بالحل سراً إلى حين وفاته حيث أفشاه إلى تلميذه أنطونيو فوير والذي بدوره احتفظ بالطريقة سراً .

عام 1530 ، استلم نيكولو فونتانا المعروف بـتارتاغليا (Tartaglia) معادلتين تكعبيتين من رياضي آخر وأعلن أنه استطاع حلهما . لم يصدقه أنطونيو فوير وتحداه علناً في مسابقة تضمنت أن يضع أحد طرفي المسابقة مبلغاً من المال ويطلب من الطرف الآخر أن يقوم بحل مسائل معينة خلال 30 يوماً . وإذا حل المسألة يحصل على النقود . كان مسألة فوير هي حل المعادلة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] والتي نجح تارتاغليا في حلها ، ولكن فوير فشل في حل مسألة غريمه والتي كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وخسر المسابقة .

طلب كاردانو Cardano من تارتاغليا الحل ، والذي أفشاه له مشفراً في قصيدة بشرط أن لا يكشف عنه لأي كان . التزم كاردانو بالوعد إلى أن عرف بحل فرو الغير منشور فحصل على مخرج من وعده بالقول أنه ينشر عمل فرو لا حل تارتاجليا ، وقام بنشرها في كتابه Ars Magna واشتهرت الطريقة باسم كاردانو ، مع أنه من المفروض أن تسمى بطريقة فرو-تارتاجليا
لقد ساهمت هذه الطريقة بدعم موقف الرياضيين الذين تحدثوا عن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] الذي كانوا يواجه بتشكيك هائل ، ففي كتابه الجبر ، تحدث رافاييل بومبلي في 1572 عن المعادلة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ، حيث أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] حل لهذه المعادلة ، ولكن باستخدام الصيغة التي سنثبتها في نهاية الموضوع فإن الحل الناتج [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ، وقد أثبت بومبلي أن :

، مما أعطى الأعداد المركبة بعداً واقعياً أكثر .
طريقة الحل
المــعادلة العامة للدرجة الثالثة هي . .:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

والتي يمكن اختزالها إلى المعادلة

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

بتعويض على الشكل ([ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]) حيث يمكن إيجاد أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
نقوم الآن باستبدال آخر وهو ( x=u-v) ، وسنحصل على المعادلة :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

والتي يمكن وضعها على الشكل التالي :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

يمكننا أن نلاحظ أنه الطرف الأيسر يساوي الصفر إذا كان

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
و
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

من المعادلة الأولى يمكن أن نصل إلى أن

وبالتعويض في المعادلة الثانية نحصل على :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

والتي يمكن وضعها على الصورة

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

المعادلة الأخيرة تمثل معادلة تربيعية في ([ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]) ، والتي يمكن حلها بسهولة بقانون المعادلات التربيعية :

وبالتعويض ، نوجد v :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

لذا :

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

ويمكن الحصول على الحلول الأخرى بالقسمة على ( [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]) .
ملاحظة : يمكن اختصار الطريقة ، بتعويض على الشكل : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
بعد القسمة على ( [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]) والمزيد من العمليات الجبرية نحصل على الصيغة العامة للحلول لأي معادلة :

مميز المعادلة التكعيبية
بالنظر إلى المعادلات السابقة يمكننا تعريف المميز بالشكل : [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
إذا كان المميز موجباً فالمعادلة له حل حقيقي وحلان مركبان مترافقان
إذا كان المميز سالباً فلها ثلاثة حلول حقيقية مختلفة
إذا كان المميز صفراً ، فلها حل حقيقي ثلاثي ، أو حلان : أحدهما مكرر

مــثــال عددي:
أوجد جذور المعادلة التالية في مجموعة الأعداد المركبة:

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

الحل :جــذور المعادلة هي ..

[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

تحياتي