لماذا؟ القسمة على صفر غير معرفة

لماذا لا يجوز القسمة على صفر؟ و كذلك لماذا يكون ناتج القسمة على صفر هو ما لا نهاية؟
تساءلنا كثيرًا في صغرنا عن القسمة على الصفر فهل كانوا صادقين حينما أخبرونا أن القسمة على صفر ليس لها معنى؟ ولكن لماذا أخبرونا بعد ذلك أن الناتج هو كمية غير مُعرّفة؟
لا شك أن العدد صفر هو أحد الرموز المُقدسة في علم الرياضيات؛ فهو ذو طبيعة مختلفة عن باقي الأرقام، وينبغي أخذ الحذر معه كثيرًا. فكيف سيكون الحال مع القِسمة؟ لماذا لا يمكننا القسمة على الصفر؟ ولماذا لا يكون الناتج ببساطة هو ∞؟
في الحقيقة ليس الأمر بهذه السهولة وسنوضح ذلك.
في البداية ينبغي مُراجعة بعض المفاهيم، فمثلًا الضرب هو في حقيقته عمليات جمع. فحينما نقول مثلًا 10*5 فنحن بالضرورة نعني أننا نجمع الخمسة 10مرات مع نفسها
«5+5+5+5 +5+5+5+5+ 5+5».
بينما القسمة على النقيض؛ فهي في حقيقتها عمليات طرح. فمثلًا حينما نقول 4/20 فنحن بالضرورة أيضًا نعني أننا نطرح 4 من العدد 20 في كل مرة
20-4=16
16-4=12
12-4=8
8-4=4
4-4=0
نقوم بذلك 5 مرات ومن هنا يكون ناتج 5=4/20. ولكن إذا قسمنا على الصفر فهذا يعني طِبقًا لما ذُكِرَ أننا في كل مرة نطرح صفرًا من العدد. مرة أخرى =0/20
20-0=20
20-0=20
20-0=20
ونستمر على هذا الحال كلما طرحنا 0 من العدد20 نحصل على 20 مرةً أُخرى. إذًا يمكن من هنا استنتاج أن الناتج هو ∞ وهذا هو ما قد يتبادر إلى الأذهان.
ولكن هذه ليست القصة كاملةً. يجب هنا التنبيه على أن ∞ ليست بحد ذاتها رقمًا؛ فلا نتعامل معها من هذا المنطلق، وإنما ∞ هي فكرة.
وللتوضيح سنأخذ الدالة التي تمثل كل قيم المتغيرة لمقلوب x ، وبإيجاد النهاية للدالة عندما تقترب x من ال 0 ، نجد أن lim(x→0)⁡1/x تساوي ∞ إذا يمكننا استنتاج أن 1/0=∞ . ولكن هذه ليست كل الحقيقة. فإذا مَثَّلنا الدالة بيانيًا وبأخذ x على المحور السيني، و مقلوب x على المحور الصادي، فعندما نقترب من قيمة ال 0 على المحور السيني، تزيد قيمة الدالة على المحور الصادي حتى يمكن أن نقول أنها تساوي ∞. ولكن هذا فقط صحيح في حالة إذا كانت x تقترب من 0 من ناحية الأعداد المُوجبة. أما في حالة الأعداد السالبة، وعندما نقترب من 0 على المحور السيني، نجد أن قيمة الدالة على المحور الصادي يمكن أن نقول أنها تساوي (∞-). رياضيا يمكننا البتعبيرٍ عن كل الذي سبق باستخدام اللانهايات كالاتي :
lim(x→0^+)⁡1/x = +∞،
وبأخذ النهاية اليُسرى يَنتج أن
lim(x→ 0^- )⁡1/x = -∞،
ومن هنا نجد أنه لا توجد قيمة واحدة ؤللنهاية عند نفس النقطة؛ ولهذا فإن ناتج القسمة دائمًا غير معرف.