الفرق بين الحلقات والحقول

تعريف الحلقة

الحلقة هي مجموعة غير خالية R مزودة بعمليتين ثنائيتين الأولى رمزها + وتسمى الجمع addition والثانية تسمى الضرب (.) multiplication بحيث أن:

النظام [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] زمرة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] (جمعية) إبدالية بمعنى أن:
1. لكل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (عملية الجمع مغلقة)
2. لكل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (عملية الجمع تجميعية)
3. يوجد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ويسمى العنصر الصفري بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (يوجد محايد لعملية الجمع)
4. لكل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] يوجد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (يوجد معكوس جمعي لكل عنصر)
5. لكل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (عملية الجمع إبدالية)

النظام [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] شبه زمرة بمعنى أن:
6. لكل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (عملية الضرب مغلقة)
7. لكل فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (عملية الضرب تجميعية)

الضرب يتوزع على الجمع, بمعنى أن:
8. لكل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ( الضرب يتوزع على الجمع من جهة اليسار)
9. لكل [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ( الضرب يتوزع على الجمع من جهة اليمين)


أمثلة : 1- مجموعة الأعداد الصحيحة مزودة بالقوانين المألوفة (Z,+,.)
2- (.,+,Z/nZ ) حلقة تبديلية .

الحقول :
نقول عن مجموعة K أنها حقل اذا تحقق أن :
1- (.,+,K) حلقة و صفر K لا يساوي واحد K
2- كل عنصر مغاير للصفر في K له معكوس ((مقلوب))

يعني باختصار كحل حقل هو حلقة
وكل حلقة بتحقق الشرط الثاني (السابق) هي حقل ..
أمثلة :
1- C هي حقل تبديلي ..و Q أيضاً ..
2- (.,+,Z/nZ ) حقل تبديلي اذا وفقط اذا كان n عدداً أولياً .

سلمت يدااك علي الموضوع الراائع

الله يعافيك ويمتعك بالصحة والعافية اخي الكريم