اهم فروع الرياضيات

ابومصعب 9/11/2010, 16:15

أهم فروع الرياضيات
معادلات تفاضلية
في الرياضيات, يطلق اسم المعادلات التفاضلية على المعادلات التي تحوي مشتقات و تفاضلات لبعض الدوال الرياضية و تظهر فيها بشكل متغيرات المعادلة .
و يكون الهدف من حل هذه المعادلات هو إيجاد هذه الدوال الرياضية التي تحقق مشتقاتها هذه المعادلات .
تبرز المعادلات التفاضلية بشكل كبير في تطبيقات الفيزياء و الكيمياء ،وحتى النماذج الرياضية المتعلقة بالعمليات الحيوية و الإجتماعية و الإقتصادية .
يمكن تقسيم المعادلات التفاضلية إلى قسمين :
· معادلات تفاضلية نظامية تحتوي على توابع ذات متغير مستقل واحد و مشتقات هذا المتغير .
· معادلات تفاضلية جزئية تحتوي دوال رياضية لأكثر من متغير مستقل مع مشتقاتها الجزئية .
تعرف رتبة المعادلة التفاضلية على أنها أعلى رتبة لمشتق موجود في هذه المعادلة : فإذا حوت المعادلة مشتق أول و مشتق ثان فقط تعتبر
من الرتبة الثانية ... وهكذا .
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولي تحتوي على مشتقات أولى فقط
درجة المعادلة التفاضلية :
- تتحدد درجة المعادلة التفاضلية حسب أس المشتق ذو الرتبة الأعلى
.. مثلا إذا كانت المعادلة التفاضلية من الرتبة الثالثة ، أي أن أعلى تفاضل فيها هو التفاضل الثالث ،فدرجة المعادلة تتحدد حسب أس هذا التفاضل ،فإذا كان مرفوعا للأس 5 مثلا تكون المعادلة من الدرجة الخامسة ،وهكذا .
تنقسم المعادلات التفاضلية أيضا إلى خطية وغير خطية .
وتكون المعادلة التفاضلية خطية بشرطين :
1- إذا كانت معاملات المتغير التابع والمشتقات فيها
دوال في المتغير المستقل فقط أو ثوابت .
2- إذا كان المتغير التابع والمشتقات غير مرفوعة لأسس ،
أي كلها من الدرجة الأولى .
وتكون غير خطية فيما عدا ذلك .
ملاحظة : كل معادلة تفاضلية خطية هي من الدرجة الأولى ،
بينما ليست كل المعادلات التفاضلية من الدرجة الأولى هي خطية ،
لأن الدرجة تتحدد حسب أس التفاضل الأعلى،
ومن الممكن أن تكون التفاضلات الأقل مرفوعة لأسس غير الواحد دون أن يؤثر ذلك على الدرجة ،
وهذا يخل بشرط المعادلة الخطية .
- معادلة برنولي هي معادلة خطية
نظرية الأعداد :
نظرية الأعداد هو فرع من الرياضيات يهتم بخصائص الأعداد الصحيحة،سواء كانت طبيعية أو نسبية،و تتضمن عدة مسائل مفتوحة سهلة الفهم، حتى بالنسبة لغير المختصين.
بصفة عامة، المجال الذي تدرسه هذه النظرية يهتم بفئة كبيرة من المسائل التي تأتي من دراسة الأعداد الطبيعية.
من الممكن تقسيم نظرية الأعداد إلى عدة مجالات حسب الطريقة المستعملة ونوع المسألة.
فهي فرع من فروع الرّياضيات تهتم بدراسة خواص وعلاقات الأعداد الصحيحة وتوسيعاتها الجبرية والتحليلية.
عند الإطلاق، نظرية الأعداد تدرس قابلية القسمة و الأوليّة و التحليل (إلى جداء عوامل أولية).
كما تدرس خواص التجزئة و ما قارب ذلك.
و يوجد فروع أخرى نذكر منها
نظرية الأعداد الجبرية التي تعتني باستعمال الطرق الجبرية لدراسة الأعداد الصماء و الأعداد المتسامية
و نظرية التحليل في التوسيعات الجبرية و غير هذا،
و نظرية الأعداد التحليلية وهي تستغل طرق التحليل العقدي (الأعداد العقدية)
حين دراسة بعض خواص الأعداد الأولية
تحليل رياضي :
يطلق اسم التحليل الرياضي على فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الدوال الرياضية و تحولاتها باستخدام أدوات ترتبط بمفاهيم النهاية ، حيث تدرس خواص مثل الاستمرار و الاشتقاق و التكامل و التفاضل ،التقعر و الإنعطاف في منحنيات التوابع و الدوال، وغالباً ما تدرس هذه المفاهيم على أعداد حقيقية أو أعداد عقدية والدوال المعرفة عليها ومن الممكن أن تدرس أيضاً على فضاءات أخرى كالفضاء المتري أو الطبولوجي
الجبر الخطي : (Linear Algebra)
هو فرع منالرياضيات مهتم بدراسة الأشعة ، فضاء شعاعي (أَو فضاءات خطية)، التحويلات الخطية ، ونظم خطية. تعتبر فراغات الأشعة موضوعا مركزيا في الرياضيات الحديثة؛ لذا يعتبر الجبر الخطي كثير الإستعمال في كلا من الجبر المجردوالتحليل الدالي.
الجبر الخطي له أيضاً أهمية في الهندسة التحليلية. كما أن له تطبيقات شاملة في العلوم الطبيعةوالعلوم الاجتماعية.
بدأ الجبر الخطي بدراسة المتجهات في الفضاءات الديكارتية ثنائية وثلاثية الأبعاد.
ويمثل المتجه هنا قطعة مستقيمة موجهة تتميز بكلا من طولها (شدتها) واتجاهها.
يمكن أن تستعمل المتجهات لتمثيل كميات فيزيائية مثل القوى، كما يمكن أن تطبق عليها عمليات الجمع والطرح والضرب (بأنواعه : الداخلي و الخارجي)
وبهذا شكلت أول مثال عن الفضاء الشعاعي الحقيقي.
تمدد الجبر الخطي الحديث ليأخذ في الاعتبار فضاءات ذات أبعاد لا نهائية.
يمكن دراسة فضاء شعاعي به نون (n) من الأبعاد ويدعى الفضاء النوني. يمكن التوسع في استخدام معظم النتائج التي نتجت عن دراسة
الفضاءات ثنائية وثلاثية الأبعاد بالنسبة للفضاءات الأكثر أبعادا
نظرية الزمر : Group Theory
هو فرع الرياضيات الذي يهتم بدراسة الزمر Groups و خواصها .
الزمرة تعني باللغة العربية جماعة مشتركة في صفة او عدة صفات مختلفة ومنها ايضا سورة الزمر في القران الكريم
اما معناها الرياضي فتهتم بالمجموعات العددية المختلفة مثل الاعداد الطبيعية والنسبية والكسرية ............الخ ولكي يمكننا القول بان مجموعة ما زمرة فلها 4 شروط بجانب شرط خامس اضافي ويمكننا ان نقول ان (*&R) تكون زمرة حيث * هى عملية رياضية ولتكن الضرب
و R هي مجموعة الأعداد الحقيقية اذا حققت ما ياتي :
1- الإغلاق وهو ان عملية الضرب لاي عنصرين موجود داخل ال R
2- الدمج
3-التوزيع
4- المحايد
اما الشرط الخامس فهو الابدال
وتسمي زمرة ابدالية
تحليل حقيقي :
التحليل الحقيقي أحد فروع الرياضيات التي تتعامل مع مجموعة الأعداد الحقيقية و الدوال المعرفة عليها .
يمكن النظر إلى التحليل الحقيقي على انه نسخة مدققة من علم الحسبان (التفاضل و التكامل) يدرس مصطلحات مثل المتتاليات و نهاياتها ،
الاستمرار في الدوال ، الاشتقاق الرياضي ، التكاملات الرياضية و اخيرا متتاليات الدوال .
بالتالي يقدم التحليل الحقيقي نظرية متقنة حول فكرة الدوال العددية 'numerical function' ،كما يتضمن نظريات حديثة حول الدوال
المعممة generalized function عادة ما يبدأ تقديم التحليل الحقيقي في النصوص الرياضية المتقدمة ببراهين بسيطة في
نظرية المجموعات المبسطةnaive set theory أو elementary set theory ، ثم تعريف واضح لمصطلح الدالة
الرياضية ، ثم مقدمة للأعداد الطبيعية و تقنيات البرهان الهامة للاستقراء الرياضي mathematical induction .
من ثم تعمد النصوص المرجعية إلى تقديم الأعداد الحقيقيةبشكل بدهي (أكسيوماتي) أو يتم تشكيلها من متتاليات كاوشي
Cauchy sequence و حد ديديكايند Dedekind cut
للأعداد المنطقةrational number النتائج البدئية تشتق أولا ،اهمها خواص القيمة المطلقة absolute value ،مثل متراجحة المثلث triangle inequalityو متراجحة برنولي Bernoulli's inequality