مقدمة : ما المقصود بالرياضيات ؟

المدير العام 6/12/2010, 21:50

إن الرياضيات تعد أم العلوم ، ولمعرفة موضوع علم الرياضيات ومنهجه يجب التطرق إلى تاريخه ، وهذا سيساعدنا على اكتساب رؤية واضحة على منهج ومبادئ ونتائج الرياضيات وبالتالي اكتشاف الآليات التي تحكم سير وتطور هذا العلم ، ومعرفة العوائق التي اعترضت تطوره .
فهل ظلت الرياضيات ومنهجها هي نفسها لم يتغير طوال تاريخها؟
المرحلة الإجرائية أو العملية :

قبل اليونان كانت الرياضيات شديدة الارتباط بالواقع العملي والحسي وبالممارسة اليومية للإنسان وبحاجاته . وتعتبر هذه المرحلة جنينيه للرياضيات .
الرياضيات الكلاسيكية مع اليونان

لقد تحقق وعي مع اليونان بالعمليات الحسابية والهندسية في شكلها المجرد واهتموا بها كثيرا . وما يميز هذه المرحلة هو امتزاج هذا الاهتمام ببعض التصورات الميتافيزيقية والخرافية الأسطورية كظهور رموز غريبة مثل : مع الفيتاغورثيين ، مما أدَّى إلى ظهور نتائج غير منتظرة وغير مألوفة . وكون الرياضيات ارتبطت في هذه الحقبة بالمحسوس والعملي بالإضافة إلى الامتزاج المذكور سالفاً ، كل هذا كان بمثابة عائق أمام تقدم الرياضيات . وكان لابد لتقدم هذا العلم من تجاوز الارتباط بالمحسوس وتجاوز التصورات التي تعطي للكائنات الرياضية كالأعداد والأشكال الهندسية مثلاً وجوداً مستقلاً عن ذهن الإنسان ( تصور أفلاطون ).
ويعتبر إقليدس العالم اليوناني الذي استطاع أن يجمع شتات ما تم إنجازه في مجال الرياضيات عند اليونان وأسس عليه نسقاً هندسياً سمي بالهندسة الإقليدية . ويتأسس البرهان الرياضي عند إقليدس على :
أ -) التعريفات : هي التي يتم بواسطتها وضع و تحديد المفاهيم والتصورات الأولية التي تشكل المادة الخام لدراسة الرياضيات .
ب -) المسلَّمات : وهي القضايا التي يفترضها العالم ويضعها كأساس ينطلق منه في عملية البرهنة دون أن يقيم عليها برهاناً
جـ -) البديهيات : وهي القضايا الواضحة التي تستمد صدقها من ذاتها ولا تحتاج إلى برهنة .
3_) الهندسة الإقليدية و ظهور الهندسات اللاإقليدية :
كان ينظر إلى هندسة إقليدس وإلى نتائجها على أنها صادقة صدقا مطلقا ,
وأنها الهندسة الوحيدة الممكنة. إلا أن كون المسلمة الخامسة لإقليدس والتي تقول :"من نقطة خارج خط مستقيم لا يمر إلا خط مستقيم وحيد يوازيه" كون هذه المسلمة لم تتم البرهنة عليها منذ البداية جعلها توضع موضع شك من طرف العلماء .
وعندما حاول كل من ريمان ( الألماني ) ولوبتشفسكي ( الروسي ) البرهنة على هذه المسلمة ، خلص كل منهما إلى هندسة أخرى تختلف عن هندسة الآخر وعن هندسة إقليدس . وسميت هذه الهندسات بالهندسات اللاإقليدية .
وظهور هذه الهندسات كان له دور أساسي في توجيه أول ضربة لليقين المطلق لمبادئ ونتائج البرهان الاستنتاجي في الرياضيات
4 -) أزمة الأسس في الرياضيات
إن أزمة اليقين الرياضي التي نتجت عن ظهور هندسيات لاإقليدية مسَّت أيضا المنهج الاستنتاجي الذي اعتمدته الرياضيات حتى النصف الأول من القرن التاسع عشر وهذه الأزمة مسَّت مجالات أخرى في الرياضيات كالجبر ، ففي إطار نظرية المجموعات ظهر أن البديهية الكل اكبر من الجزء ليست صادقة صدقا مطلقا كما كان يعتقد،إذ ظهر أن الجزء يمكن أن يكون مساوياً للكل أو أن يكون اكبر من الكل .
كما ظهرت كذلك بعض الأعداد الخيالية ( ت )والتي أدت إليها بعض المعادلات وهذا كله أدى إلى ظهور منهج جديد في الرياضيات هو المنهج الفرضـــي الاستنتاجي .
5 -) المنهج الفرضي الاستنتاجي
في هذا المنهج لم يعد ينظر إلى المبادئ والأسس التي يقوم عليها البرهان الرياضي على أنها صادقة أو غير صادقة ، بل أصبحت تعتبر فقط مجرد فرضيات تخضع لعدة شروط منها الوضوح وعدم إثارة الاختلاف وان تكون مستقلة عن بعضها البعض ، والتي يهم في النسق الاكسيومي الناتج عن هذه الفرضيات وهو طابع النظام والاتساق الداخلي المنطقي وخلوه من التناقض . ويكون صدق النتائج في المنهج الفرضي الاستنباطي صدقاً صورياً ، حيث أن الوصول إليها تم دون التناقض مع الأولويات التي تم الانطلاق منها .
تدريس وتقديم المفاهيم الرياضيه
عند تقديم اي مفهوم رياضي جديد داخل حجرة الفصل غالبا ما يبدأ المعلم او المعلمة باعطاء تعريف المفهوم ثم يعرض امثلة توافق ذلك المفهوم ثم بعرض امثلة لا تتفق مع المفهوم ومن الطبيعي ان تعليم المفاهيم تتباين في عرضها وتقديمها من معلم لاخر حتى ان التباين قد يحدث لدى نفس المعلم او المعلمة في عرض مفهومين مختلفين لفصل واحد
ايضا قد يقوم معلم اخر بنفس الطريقة السابقة ولكن بترتيب مغاير كان يقدم امثلة على المفهوم ثم يقدم التعريف ثم يعطي امثلة لا تتفق مع المفهوم وقد يقوم معلم اخر او معلمة اخرى بتطبيق احد العناصر الثلاث السابقة او عنصرين وهكذا
ولتدريس المفاهيم الرياضية علينا اتباع احد التحركات او الاتجاهات التالية وان كان يفضل عادة الخلط بين تلك التحركات فيما يحقق الغرض في النهاية من استيعاب الطلبة لذلك المفهوم
تحرك الخاصية الواحدة
كان نذكر خاصية واحدة فقط من عناصر مجموعة الاسناد للمفهوم وكمثال المثلث له ثلاثة اضلاع
المفهوم هو المثلث والخاصية هي ان له ثلاثة اضلاع
تحرك الشرط الكافي
يتم التحرك هنا بمناقشة خاصية واحدة واكثر من عناصر مجموعة الاسناد للمفهوم من حيث كفايتها وهنا نستخدم اداة الشرط الكافي اذا فان وكمثال اذا حقق عدد ما معادلة ما فانه يكون جذرا او صفرا لها
المفهوم هو الجذر والخاصية هي اذا حقق عددا ما معادلة ما
تحرك الشرط الضروري
يتم التحرك هنا بمناقشة الشرط او الشروط اللازمة توفرها في الشئ ليكون عنصرا في مجموعة اسناد المفهوم وهذا التحرك يحوي كلمة يجب وكمثال حتى تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة يجب ان تكون متصلة عند تلك النقطة
المفهوم هو قابلية الدالة للاشتقاق عند نقطة والشرط الضروري هو الاتصال عند تلك النقطة
تحرك التصنيف
نناقش في هذا التحرك مجموعة اشمل تحوي مجموعة اسناد المفهوم وهو عادة يقدم المفهوم كتعريف كمثال دالة الدرجة الثانية هي دالة كثيرة حدود
المفهوم هو دالة الدرجة الثانية المجموعة الاشمل هي دالة كثيرة حدود
تحرك التحديد
ومن خلاله يتم تحديد الشئ الذي يطلق عليه المفهوم عن طريق ذكر خصائصه الكافية والضرورية كمثال المربع شكل رباعي متساوي الاضلاع زواياه قائمة
المفهوم هو المربع خصائصه الكافية والضرورية هي رباعي متساوي الاضلاع وزواياه قائمه
تحرك التحليل
هنا نسمي مجموعة جزئيه او اكثر من مجموعة اسناد ذلك المفهوم كمثال الدائرة والقطع المكافئ والقطع الناقص هي قطوع مخروطية
المفهوم قطوع مخروطية ومجموعة الاشياء الجزئية هي الدائرة والقطع المكافئ والقطع الناقص
تحرك المقارنة
هنا نقوم بعمل مقارنة بين عناصر مجموعة اسناد المفهوم مع عناصر لا تنتمي لهذه المجموعة كمثال يختلف القطع الناقص عن القطع المكافئ في ان له بؤرتان بدلا من بؤرة واحدة
المفهوم هو القطع الناقص المقارنه بؤرتان بدلا من واحده
تحرك المثال واللامثال مع التبرير
فهنا نناقش امثله على المفهوم ومن ثم اعطاء لا امثله اي تلك الامثلة التي لا تتفق مع المفهوم ولا تنتمي الى عناصر اسناده كمثال جذر العدد اثنين ليس عددا نسبيا لانه لا يحقق شرط العدد النسبي
المفهوم هو عدد نسبي المثال والتبرير جذر اثنين لانه لا يحقق الشرط
تحرك التعريف
وهذا من اكثر التحركات او الاتجاهات شيوعا واستخداما في تدريس المفاهيم الرياضية لانه يعتبر سهلا واكثر دقة وتحديدا للمفهوم ولكن يؤخذ عليه صعوبته على بعض الطلبة خاصة بطيئي الفهم وهنا نبدأ بتقديم تعريف المفهوم ثم اعطاء امثلة عليه تتوافق معه ثم امثلة لا تتوافق معه لازالة سوء الفهم الذي قد يحدث لدى الطلبة نتيجة عدم قدرتهم على تمييز الخصائص الاساسية للمفهوم كمثال تعريف القطع الزائد على انه مسار نقطة تتحرك في المستوي بحيث يبقى الفرق الموجب بين بعديها عن نقطتين ثابتتين في المستوي مقدارا ثابتا
المفهوم هو القطع الزائد والتعريف هو مسار نقطة ونكمل التعريف
تحرك الرسم البياني
هناك الكثير من المفاهيم الرياضية تحتاج الى استخدام هذا النوع من التحركات لتوضيحها مثل المفاهيم الهندسية كالمربع والقطع الناقص فنحتاج الى رسمها بيانيا لكي يستوعبها الطلبة ويدركوها
وهناك مفاهيم اخرى يكون التمثيل البياني لها جزء مكمل لتحركات اخرى مثل شرح دالة الدرجة الاولى
وهناك بالطبع مفاهيم رياضية لا تحتاج الى هذا التحرك لعدم فاعليته مثل مفهوم الفرق بين مربعين والعدد النسبي وغيرها